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>>「力学」の平原

振り子の運動

 

クエスト概要

糸に繋がれて揺れる物体の運動を計算で求めます。
もっと簡単に解く方法もありますが、事前知識が必要なので基本に忠実なこちらを先にクリアするのが良いと思います。

 

クエスト発生条件

円運動をクリア後に選択可能になります。
近似を使うところでは技「テイラー展開」を身に付けていると楽勝ですが、なくてもクリア可能です。

 

攻略法

 糸で吊るされた物体が揺れる動きを運動方程式を使って解いてみましょう。

 糸の長さを \( l \) として、吊るされた物体の質量を \( m \) とします。 話を単純化するために糸の質量は無視できるほど小さいと仮定します。 糸の代わりに細い棒を考えても構いません。

 物体に働く重力は下向きに \( mg \) ですが、 糸によって動きが制限されているので真下に落下していくことはできません。 糸に垂直な方向にだけ自由に動けるようになっています。 これは糸に掛かる張力 \( T \) が物体を引っ張っているためだと解釈できます。

pendulum.png

 この後の計算をなるべく簡単にするために、 今回は真下方向を \( x \) 座標の正の方向として、右方向を \( y \) 座標の正の方向と決めておきます。 図により、それぞれの方向に働く力は次のように表されることが分かります。

\[ \begin{align*} F_x \ &=\ - T \, \cos \theta \ +\ mg \tag{1} \\[3pt] F_y \ &=\ - T \, \sin \theta \tag{2} \end{align*} \]

 つまり、解くべき方程式は次の 2 つです。

\[ \begin{align*} m \ddif{x}{t} \ &=\ - T \, \cos \theta \ +\ mg \tag{3} \\[3pt] m \ddif{y}{t} \ &=\ - T \, \sin \theta \tag{4} \end{align*} \]

 さて、これらの方程式を解くにあたって問題点があります。 知りたいのは物体がどのように動くかですので、\( x(t) \) や \( y(t) \) や \( \theta(t) \) という関数の形を得ようとしているわけです。 しかし一つの式に 2 つ以上の未知関数が含まれるというのはとても解きにくい状況です。 張力 \( T \) が具体的にどれくらいなのかも分からないままですから実は \( T(t) \) という未知関数までもが含まれていることになります。 もう少し状況を整理できないでしょうか。 よく考えてみれば、物体の位置を表す \( x(t) \) や \( y(t) \) はどちらも \( \theta(t) \) さえあれば次のように表せてしまえるはずです。

\[ \begin{align*} x \ &=\ l \, \cos \theta \tag{5} \\[3pt] y \ &=\ l \, \sin \theta \tag{6} \end{align*} \]

 実は今回座標軸の向きを少し不自然に設定しているのはこのようにすっきり表すためなのでした。 この関係式を使えば (3) 式や (4) 式から未知関数の数を減らせる気がします。 試してみましょう。 まず 1 階微分は次のように表されます。

\[ \begin{align*} \dif{x}{t} \ &=\ - l \, \sin \theta \cdot \dot{\theta} \tag{7} \\[3pt] \dif{y}{t} \ &=\ \hspace{12pt} l \, \cos \theta \cdot \dot{\theta} \tag{8} \end{align*} \]

 \( \theta \) の時間微分は上にドットを付けて \( \dot{\theta} \) と表すことにしました。 さらにもう一度微分します。 2 階微分には 2 つのドットを付けることにします。

\[ \begin{align*} \ddif{x}{t} \ &=\ - l \, \left( \phantom{-} \cos \theta \cdot \dot{\theta} \cdot \dot{\theta} + \sin \theta \cdot \ddot{\theta} \right) \tag{9} \\[3pt] \ddif{y}{t} \ &=\ \hspace{12pt} l \, \left( - \sin \theta \cdot \dot{\theta} \cdot \dot{\theta} + \cos \theta \cdot \ddot{\theta} \right) \tag{10} \end{align*} \]

 この (9) 式と (10) 式を (3) 式と (4) 式にそれぞれ代入して少し整理すると、次のような微分方程式が出来上がります。

\[ \begin{align*} m\,l \, \big( \dot{\theta}^2 \cos \theta + \ddot{\theta} \sin \theta \, \big) \ &=\ T \, \cos \theta \ -\ mg \tag{11} \\[3pt] m\,l \, \big( \dot{\theta}^2 \sin \theta - \ddot{\theta} \cos \theta \, \big) \ &=\ T \, \sin \theta \tag{12} \end{align*} \]

 よく似た式が二つも出来てしまいました。 うまくやれば張力 \( T \) が消せそうです。 (11) 式の両辺に \( \sin \theta \) を掛けて、(12) 式の両辺に \( \cos \theta \) を掛けて一方から他方を引いてやれば良いでしょう。

\[ m\, l\, \ddot{\theta}\, \big(\, \sin^2 \theta + \cos^2 \theta \, \big) \ =\ - mg \, \sin \theta \tag{13} \]

 これは思った以上の成果です。 さらに簡単になります。

\[ l\, \ddot{\theta} \ =\ - g \, \sin \theta \tag{14} \]

 これは変数 \( \theta \) だけの方程式になっていますから、あとはこれを解くだけで解決です。 しかし厳密解を求めるのは簡単ではないのでまた今度にしておきましょう。 近似解ならば今すぐ簡単に求めることができます。 \( \theta \) がごく小さい時には次のような近似が成り立つという数学の知識を利用します。

\[ \sin \theta \ \kinji \ \theta \tag{15} \]

 これを使えば (14) 式は次のように書き換えられます。

\[ l\, \ddif{\theta}{t} \ =\ -g \, \theta \tag{16} \]

 この式はばねと単振動のところで解いた方程式と全く同じ構造をしています。 使っている記号が異なるだけです。 以前に得た解を今回の方程式に合わせて記号の置き換えをすると次のような解になります。

\[ \theta \ =\ A \sin \left( \sqrt{\frac{g}{l}} \, t \ +\ \delta \right) \tag{17} \]

 これは物体が左右に一定の周期で揺れることを意味しています。 その周期は物体の質量には関係がなく、重力加速度が大きいほど速く、糸の長さが長いほどゆっくりになります。 しかもその周期は大きく揺らしても小さく揺らしても同じです。 これを「振り子の等時性」と呼びます。 振り子時計は、歯車を一定のタイミングで一つずつ進めるためにこの現象を応用しています。

 ただしこれは近似を使って計算した結果ですので、振れの角度を大きくすると (17) 式も、振り子の等時性の話も成り立たなくなります。 小学校の理科の授業で児童に実験をさせてみると、かなり大きく揺らしてしまうことが多いので、実際に振り子の等時性が成り立たないという結果が出ることがあります。 しかし「振り子の等時性」を厳密に成り立つ法則だと信じてしまっている先生方が実験結果の方を誤りだと指導してしまうことがあるようで問題になっています。 ご注意ください。 (最大振れ角を 45°くらいで揺らしたときには周期は近似解よりも 4 % ほど長くなります。 10 往復もさせると 40 % くらいずれるわけですから並べて観察してやると違いがはっきりと分かるほどになります。)

 ところで、途中で方程式から消してしまった張力 \( T \) の方はどうなっているでしょうか。 (11) 式の両辺に \( \cos \theta \) を掛けて、(12) 式の両辺に \( \sin \theta \) を掛けて足し合わせると、\( T \) を残したまま式を簡単に出来そうです。

\[ m\,l\,\dot{\theta}^2 \ =\ T \ -\ mg \, \cos \theta \tag{18} \]

 \( \dot{\theta} \) というのは角速度 \( \omega \) のことですから、記号を書き換えるついでに整理してみましょう。

\[ T \ =\ mg \cos \theta \ +\ m\,l\,\omega^2 \tag{19} \]

 右辺の第 1 項は物体に掛かる重力のうち、糸の方向を向いた成分を表しています。 第 2 項は物体を円運動させるのに必要な力である「向心力」と同じ形をしています。 つまり、張力は物体に掛かる重力の一部を支えながら、さらに円運動させるための力をも提供していると解釈できるわけです。 糸の立場に立ってみれば、わざわざ物体を円運動させようとしたわけではなく、糸が切れないように踏ん張っていたら結果としてこうなったわけですから、「物体に掛かる重力と遠心力に耐えている」と解釈することでしょう。

 遠心力という言葉は日常用語としても良く使われますが、物理学では少し慎重に使うべき言葉なので注意してください。 それについてはまた別の機会に学ぶことにしましょう。

 

参考資料

(要編集:ヒントが載っている魔導書ページへのリンク、記載されているページ数など)

 

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Last-modified: 2019-09-14 (土) 18:42:58