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>>「力学」の平原

力学ぶらり旅(その1)

 

クエスト概要

まずは力学分野の全体を眺めて歩き回りましょう。
3つのチュートリアルの1番目です。

 

クエスト発生条件

ゲームスタート直後に自動的に始まります。

 

攻略法

 まずはぶらりと歩いて力学分野全体の様子を見て回りましょう。 この分野ではニュートンの運動方程式が全てです。 高校物理では \( F=ma \) という公式を習いましたが、 これでは加速度 \( a \) が一定となるような問題しか扱えません。 「物理学」では加速度を微分を使って表します。

 物体の位置を変数 \( x \) で表すことにしますと、 運動する物体の位置というのは時間の経過によって刻々と変わりますので、 実はこの \( x \) というのは \( x(t) \) と表されるような時間の関数でもあります。

 \( x(t) \) を時間で微分すると物体の速度 \( v \) が求まります。

\[ v = \dif{x}{t} \]

 加速や減速をするような物体の速度 \( v \) というのは時間によって刻々と変化しますので、これも時間の関数です。 ですから \( v(t) \) と書くことにすると、いかにも時間の関数だという雰囲気が表せます。

 さらに \( v(t) \) を時間で微分すると、速度の変化、つまり加速度 \( a \) が求まります。

\[ a = \dif{v}{t} \]

 加速度 \( a \) も時間によって変化しますので \( a(t) \) と書くことがあります。

 結局 \( a \) というのは、物体の位置 \( x \) を時間 \( t \) で 2 階微分したものだということが分かります。

\[ a = \dif{v}{t} = \ddif{x}{t} \]

 それで、ニュートンの運動方程式は

\[ F = m \ddif{x}{t} \]

という形で書けば良いということが分かるでしょう。

 この \( F \) というのは物体に対して働く力を意味しており、 その力の大きさは物体の現在位置や速度によって決まったり、 時間によって決まるものだったり、あるいはそれら全てによって決まったりもします。 つまり、この \( F \) もまた関数です。 それで \( F(x) \) と書くときもあれば \( F(t) \) と書くときもあり、\( F(x,t) \) などと書くときもあります。 具体的に決まっていない場合にはとりあえず \( F(x,v,t) \) と書いておけばどの場合も含めて表せますので便利です。

 結局、ニュートンの運動方程式は数学的には

\[ F(x,v,t) = m \ddif{x}{t} \]

という形の式で書かれることになります。

 この式は微分方程式と呼ばれるものです。 ですから、数学が得意な人は数学書で微分方程式の解き方を先に勉強したほうが近道かも知れません。 この方程式は、力を表す関数 \( F(x,v,t) \) の形を具体的に定めてやりさえしたら、あとは数学の知識で解くことができます。

 では物理の教科書では一体何をやっているかというと、 あまり難しすぎない具体例を使って方程式の立て方や解き方や結果の解釈の仕方を説明しているわけです。  あるいは物理の問題を解くときによく使うことになる小手先のテクニックも多く学ぶことができます。

 一方、数学書の場合には微分方程式の解き方だけに集中して説明されており、 人類が到達した難易度の限界を目指してひたすらに進むようなものもありますので、 張り切って難しそうな教科書に手を出すと困惑してしまうことがあるかも知れません。

 

参考資料

(要編集:ヒントが載っている魔導書ページへのリンク、記載されているページ数など)

 

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Last-modified: 2019-09-13 (金) 23:55:55