![[Cheat Physics]](image/cheat_logo.png "[Cheat Physics]"){kind=logo}
>>「力学」の平原
非慣性系への座標変換によって運動方程式がどのように変わって見えるかを考えてみます。
慣性系どうしの座標変換のことを「ガリレイ変換」と言いましたが、非慣性系への座標変換には特に名前が付いていません。 非慣性系のことを「加速系」あるいは「加速度系」と呼ぶこともあります。
「見かけの力」や「慣性力」といった用語もここで学びます。
ガリレイ変換をクリア後に選択可能になります。
一定の加速度 \( a \) で \( x \) 軸方向へ加速している乗り物を考えます。 この中にいる人は乗り物のどこか一点を原点 \( (x'=0) \) に選んで独自の座標を考えることができます。 この乗り物の外の慣性系にいる人が使う座標 \( x \) との関係式を考えてみます。
ガリレイ変換のときと同じように両者の原点が一致した瞬間を \( t=0 \) と考えることにします。 その瞬間の乗り物の速度を \( v\sub{0} \) とすると、\( t \) 秒後には加速系の原点は \( x = v\sub{0}\,t + \frac{1}{2} a t^2 \) にありますから、両者の関係は次の式で表されることになります。
\[ x \ =\ x' \ +\ v\sub{0}\,t + \frac{1}{2} a t^2 \tag{1} \]
これをニュートンの運動方程式に代入することで、加速系での座標で表された運動方程式が出来上がります。
\[ \begin{align*} F \ &=\ m \ddif{x}{t} \\[3pt] &=\ m \ddif{}{t} \left( x'+v\sub{0}\,t + \frac{1}{2} a t^2 \right) \\[3pt] &=\ m \dif{}{t} \dif{}{t} \left( x'+v\sub{0}\,t + \frac{1}{2} a t^2 \right) \\[3pt] &=\ m \dif{}{t} \left( \dif{x'}{t} + v + at \right) \\[3pt] &=\ m \left( \ddif{x'}{t} + a \right) \\[3pt] &=\ m \ddif{x'}{t} + ma \tag{2} \end{align*} \]
つまり、加速系においては運動方程式は
\[ F - ma \ =\ m \ddif{x'}{t} \tag{3} \]
という形をしていて、ニュートンの運動方程式とは少し違っているわけです。 この系から世界を見ると、あらゆる物体に \( ma \) という力が \( x \) 軸の負の方向に向かって掛かっているように見えます。 この力には「作用反作用の法則」が当てはまらず、反作用らしきものが見当たりません。 これは自分たちが加速していることによって生じるもので、「見かけの力」と呼ばれます。 このようなことによって、加速系にいる人は自分が慣性系にいるわけではないと判断することができます。
止まっていた列車が急に動き出したり、走っていた列車が急ブレーキをかけた時に中で立っている乗客が倒れそうになりますが、このとき働く力も見かけの力です。 列車の中が一時的に加速系になることによって生じています。 物体が慣性によって一定速度であり続けようとするために列車の加速や減速について行けないというイメージで説明されることもあり、その場合には「慣性力」と呼ばれることも多いですが同じものです。
（要編集：ヒントが載っている魔導書ページへのリンク、記載されているページ数など）
