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>>「力学」の平原
物体を水平方向に投げたときの運動を考えます。
自由落下をクリア後に選択可能になります。
重力が一定とみなせるような地表付近で物体を水平方向に投げたときの運動を考えます。 話を簡単にするために空気抵抗のことは考えません。
私たちが存在しているこの世界の空間は 3 次元で、 物体の位置は \( (x,y,z) \) の 3 つの座標成分を使って表すことができます。 これら 3 つの座標成分に対してそれぞれ同じ形の運動方程式が成り立っています。
\[ \begin{align*} m \ddif{x}{t} \ &=\ F_x \\[3pt] m \ddif{y}{t} \ &=\ F_y \\[3pt] m \ddif{z}{t} \ &=\ F_z \end{align*} \]
この右辺にある \( ( F_x, F_y, F_z ) \) は物体に働く力を 3 つの座標軸の方向の成分に分けて表したものです。 3 つの方程式をそれぞれ別々に解いてやって後で結果を総合して考えれば物体の動きが把握できるわけです。
今回は高さを \( z \) 軸で表して、上向きを正とします。 また、水平方向への移動距離を \( x \) 軸で表して、右向きを正とします。 \( y \) 軸は今回は使用しません。
重力は下向きに働いていますから \( F_z = -mg \) で、水平方向ヘは力は働いていませんから \( F_x = 0 \) とすれば良いでしょう。 次のような 2 つの運動方程式を作って解けば良いということになります。
\[ \begin{align*} m \ddif{z}{t} \ &=\ -m \, g \tag{1} \\[3pt] m \ddif{x}{t} \ &=\ 0 \tag{2} \end{align*} \]
(1) 式については以前に自由落下のところで解いています。 結果だけもらってきましょう。
\[ z = -\frac{1}{2} g\,t^2 \ +\ v_z\sub{0}\,t \ +\ z\sub{0} \tag{3} \]
\( v_z\sub{0} \)は上下方向の初期速度を意味していますが、今回は水平投射なので 0 です。 また、\( z\sub{0} \) は上下方向の初期位置を表していますが高さ \( h \) を使うことにしましょう。 (3) 式は次のように書き換えられます。
\[ z = -\frac{1}{2} g\,t^2 \ +\ h \tag{4} \]
垂直方向についてだけみれば真下への自由落下と同じだという事が分かりました。
次に (2) 式を解きます。 積分を 2 回行えば良いだけですが、(1) 式で \( g=0 \) としたものが (2) 式ですので、 (3) 式に \( g=0 \) を代入したものを流用しましょう。
\[ x = v_x\sub{0}\,t \ +\ x\sub{0} \tag{5} \]
\( v_x\sub{0} \) は水平方向の初期速度を意味していますが、単純に \( v\sub{0} \) としておきましょう。 \( x\sub{0} \) は水平方向の初期位置ですが、式を簡単にするために \( x=0 \) の地点から投げたことにしましょう。
\[ x = v\sub{0}\,t \tag{6} \]
水平方向には一定速度で進み続けるという結果が出ました。
(4) 式と (6) 式を組み合わせて、物体がどんな軌跡を描いて落ちるかというグラフを描いてみるのは 高校までの数学の知識があれば問題ないでしょう。 軌跡の形だけを知りたいのなら時間 \( t \) を消去した形にまとめると分かりやすくなります。 (6) 式を変形して
\[ t = \frac{x}{v\sub{0}} \tag{7} \]
という形にしたものを (4) 式に代入すると次の式を得ます。
\[ z = -\frac{g}{2\,v\sub{0}^2} \, x^2 \ +\ h \tag{8} \]
これは「上に凸の形をした 2 次関数」です。 投げた地点がちょうどグラフのてっぺんになっています。 2 次関数は別名「放物線」と呼ばれるのでした。 それは「物体を放り投げたときに描く軌跡の線」という意味です。 英語では parabola と言いますが、これも「投げる」という意味のギリシャ語が語源となっています。
（要編集：ヒントが載っている魔導書ページへのリンク、記載されているページ数など）
