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>>「力学」の平原

惑星の運動2

 

クエスト概要

ケプラーの第2法則が成り立つことを運動方程式から導きます。

 

クエスト発生条件

惑星の運動」をクリア後に選択可能になります。

 

攻略法

 ケプラーの第2法則は「面積速度一定の法則」とも呼ばれているのでした。 惑星の軌道は太陽を焦点とする楕円であり、太陽から惑星に引いた直線にインクを付けて引きずると、次の図のような塗りつぶし跡ができます。

area_speed1.png

 一定時間内にこのようにして塗りつぶされる面積が常に一定だというのがケプラーの第2法則の意味です。 つまり、太陽から離れると惑星の移動速度は遅くなります。 これを数式で表現してみましょう。 太陽の位置を原点にした極座標を採用します。

 惑星は微小時間 \( \Delta t \) 内に微小角度 \( \Delta \theta \) だけ移動したとします。 このとき、次の図のような部分が塗りつぶされます。

area_speed2.png

 この図では大きく描いてあるのであちこちに曲線がありますが、ごく微小な移動なので各辺はほぼ直線とみなせます。 すると塗りつぶされた領域は「底辺が \( r+ \Delta r \) で高さが \( r \, \Delta \theta \) であるような三角形」だと考えることができますから、この微小領域の面積は次のように表すことができます。

\[ \begin{align*} \Delta S \ &\kinji\ \frac{1}{2}(r+\Delta r) \, r \, \Delta \theta \\[3pt] &=\ \frac{1}{2} \, r^2 \, \Delta \theta \ +\ \frac{1}{2} \, r \, \Delta r \, \Delta \theta \tag{1} \end{align*} \]

 この第 1 項が図で濃く塗りつぶされた部分の面積で、第 2 項は薄く塗りつぶされた部分の面積を意味しています。 第 2 項には \( \Delta r \) と \( \Delta \theta \) の積が含まれていて、微小量どうしの積になっていますから、第 1 項に比べて無視できます。 図では大きく描いてあるのでどうにも無視できない面積に見えますが、もっとずっと小さな移動量を想像して次々と塗りつぶしていってやると、薄い部分は楕円に沿った小さなギザギザ領域になっていき、無限小の極限まで考えると、濃い領域だけで全体を塗りつぶせるようになることが分かります。

 無限小時間 \( \diff t \) に無限小角度 \( \diff \theta \) だけ移動したと考え直せば、そのときの無限小面積 \( \diff S \) は次のように表せます。

\[ \diff S \ =\ \frac{1}{2} \, r^2 \diff \theta \tag{2} \]

 無限小時間 \( \diff t \) 内にこれだけ塗りつぶされたのですから、時間あたりの面積の変化の度合い、すなわち面積速度 \( D \) は次のように表せます。

\[ \begin{align*} D \ &=\ \dif{S}{t} \ =\ \frac{1}{2} \, r^2 \, \dif{\theta}{t} \\[3pt] &=\ \frac{1}{2} \, r^2 \, \dot{\theta} \tag{3} \end{align*} \]

 さて、この \( D \) が一定であることは実は「惑星の運動」のところで楕円軌道を求める途中で出てきています。 運動方程式を極座標に書き直して出てきた式のうちの一つを変形することで次のような式が出てきたのでした。(「惑星の運動」の (17) 式を参照)

\[ \dif{}{t}(r^2 \dot{\theta}) \ =\ 0 \tag{4} \]

 「時間微分したものが 0 になるのだからカッコ内は時間によって変化しない」というのでその場では定数 \( h \) と書きましたが、その定数 \( h \) は実は面積速度 \( D \) の 2 倍を意味していたというわけです。 こうして、ケプラーの第 2 法則も運動方程式から導かれることがはっきりしました。

 

参考資料

(要編集:ヒントが載っている魔導書ページへのリンク、記載されているページ数など)

 

コメント



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Last-modified: 2019-08-16 (金) 16:31:26