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>>「力学」の平原
糸に繋がれて揺れる物体の運動を計算で求めます。
もっと簡単に解く方法もありますが、事前知識が必要なので基本に忠実なこちらを先にクリアするのが良いと思います。
ばねと単振動をクリア後に選択可能になります。
近似を使うところでは技「テイラー展開」を身に付けていると楽勝ですが、なくてもクリア可能です。
糸で吊るされた物体が揺れる動きを運動方程式を使って解いてみましょう。
糸の長さを \( l \) として、吊るされた物体の質量を \( m \) とします。 話を単純化するために糸の質量は無視できるほど小さいと仮定します。 糸の代わりに細い棒を考えても構いません。
物体に働く重力は下向きに \( mg \) ですが、 糸によって動きが制限されているので真下には動けません。 糸に垂直な方向にだけ自由に動けるようになっています。 これは糸に掛かる張力が物体を引っ張っているためだと解釈できます。 そこで、重力 \( mg \) を「糸の方向の成分」と「糸に垂直な方向の成分」に分けてみましょう。
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図より分かるように、糸の方向の成分は \( mg \cos \theta \) ですが、 これが糸の張力と釣り合うようになっているのでこの力は物体を動かしません。 物体を動かすのは糸に垂直な方向の力の成分であり、\( mg \sin \theta \) です。 こちらを使って運動方程式を立ててみましょう。
ただ困ったことに、この力の向きは一定ではなく、物体の揺れの角度が変化するのに合わせて常に変化を続けます。 そこで、この力をさらに縦方向と横方向に分けて、それぞれの方向についての 2 つの運動方程式を立ててみましょう。 この後の計算をなるべく簡単にするために、 今回は真下方向を \( x \) 座標の正の方向として、右方向を \( y \) 座標の正の方向と決めておきます。
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図により、それぞれの方向に働く力は次のように表されることが分かります。
\[ \begin{align*} F_x \ &=\ \hspace{12pt} mg \, \sin \theta \, \sin \theta \\[3pt] F_y \ &=\ - mg \, \sin \theta \, \cos \theta \end{align*} \]
つまり、解くべき方程式は次の 2 つです。
\[ \begin{align*} m \ddif{x}{t} \ &=\ \hspace{12pt} mg \, \sin \theta \, \sin \theta \\[3pt] m \ddif{y}{t} \ &=\ - mg \, \sin \theta \, \cos \theta \end{align*} \]
両辺を \( m \) で割っておけばもう少しすっきりします。
\[ \begin{align*} \ddif{x}{t} \ &=\ \hspace{12pt} g \, \sin \theta \, \sin \theta \tag{1} \\[3pt] \ddif{y}{t} \ &=\ - g \, \sin \theta \, \cos \theta \tag{2} \end{align*} \]
この段階で、今回の計算で得られる運動は質量には関係ない動きをするのだろうということが予想できます。
さて、これらの方程式を解くにあたって問題点があります。 知りたいのは物体がどのように動くかですので、\( x(t) \) や \( y(t) \) や \( \theta(t) \) という関数の形を得ようとしているわけです。 しかし一つの式に 2 つ以上の未知関数が含まれるというのはとても解きにくい状況です。 もう少し状況を整理できないでしょうか。 よく考えてみれば、物体の位置を表す \( x(t) \) や \( y(t) \) はどちらも \( \theta(t) \) さえあれば次のように表せてしまえるはずです。
\[ \begin{align*} x \ &=\ l \, \cos \theta \\[3pt] y \ &=\ l \, \sin \theta \end{align*} \]
実は今回座標軸の向きを少し不自然に設定しているのはこのようにすっきり表すためなのでした。 この関係式を使えば (1) 式や (2) 式はどちらも \( \theta \) についてだけの微分方程式に書き換えられる気がします。 試してみましょう。 まず 1 階微分は次のように表されます。
\[ \begin{align*} \dif{x}{t} \ &=\ - l \, \sin \theta \cdot \theta' \\[3pt] \dif{y}{t} \ &=\ \hspace{12pt} l \, \cos \theta \cdot \theta' \end{align*} \]
\( \theta \) の時間微分はダッシュを付けて表すことにしました。 さらにもう一度微分します。
\[ \begin{align*} \ddif{x}{t} \ &=\ - l \, \left( \phantom{-} \cos \theta \cdot \theta' \cdot \theta' + \sin \theta \cdot \theta'' \right) \tag{3} \\[3pt] \ddif{y}{t} \ &=\ \hspace{12pt} l \, \left( - \sin \theta \cdot \theta' \cdot \theta' + \cos \theta \cdot \theta'' \right) \tag{4} \end{align*} \]
この (3) 式と (4) 式を (1) 式と (2) 式にそれぞれ代入すると \( \theta \) だけの微分方程式が出来上がります。
\[ \begin{align*} \ \cos \theta \cdot \theta'^2 + \sin \theta \cdot \theta'' \ &=\ -\frac{g}{l} \sin \theta \, \sin \theta \tag{5} \\[3pt] \ - \sin \theta \cdot \theta'^2 + \cos \theta \cdot \theta'' \ &=\ -\frac{g}{l} \sin \theta \, \cos \theta \tag{6} \end{align*} \]
よく似た式が二つも出来てしまいました。 本当はどちらかひとつあればいいのかもしれません。 よく見ると (5) 式の両辺に \( \sin \theta \) を掛けて、(6) 式の両辺に \( \cos \theta \) を掛けて二つの式を足してやれば それぞれの第 1 項が打ち消し合って今より簡単な式になりそうです。
\[ (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)\, \theta'' \ =\ -\frac{g}{l} \sin \theta \, (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) \]
これは思った以上の成果です。 さらに簡単になります。
\[ \theta'' \ =\ -\frac{g}{l} \, \sin \theta \tag{7} \]
あとはこの (7) 式を解くだけで解決です。 しかし厳密解を求めるのは簡単ではないのでまた今度にしておきましょう。 近似解ならば今すぐ簡単に求めることができます。 \( \theta \) がごく小さい時には次のような近似が成り立つという数学の知識を利用します。
\[ \sin \theta \ \kinji \ \theta \tag{8} \]
これを使えば (7) 式は次のように書き換えられます。
\[ l\, \ddif{\theta}{t} \ =\ -g \, \theta \tag{9} \]
この式はばねと単振動のところで解いた方程式と全く同じ構造をしています。 使っている記号が異なるだけです。 以前に得た解を今回の方程式に合わせて記号の置き換えをすると次のような解になります。
\[ \theta \ =\ A \sin \left( \sqrt{\frac{g}{l}} \, t \ +\ \delta \right) \tag{10} \]
これは物体が左右に一定の周期で揺れることを意味しています。 その周期は物体の質量には関係がなく、重力加速度が大きいほど速く、糸の長さが長いほどゆっくりになります。 しかもその周期は大きく揺らしても小さく揺らしても同じです。 これを「振り子の等時性」と呼びます。 振り子時計は、歯車を一定のタイミングで一つずつ進めるためにこの現象を応用しています。
ただしこれは近似を使って計算した結果ですので、振れの角度を大きくすると (10) 式も、振り子の等時性の話も成り立たなくなります。 小学校の理科の授業で児童に実験をさせてみると、かなり大きく揺らしてしまうことが多いので、実際に振り子の等時性が成り立たないという結果が出ることがあります。 しかし「振り子の等時性」を厳密に成り立つ法則だと信じてしまっている先生方が実験結果の方を誤りだと指導してしまうことがあるようで、問題になっています。 ご注意ください。 （最大振れ角を 45°くらいで揺らしたときには周期は近似解よりも 4 % ほど長くなります。）
（要編集：ヒントが載っている魔導書ページへのリンク、記載されているページ数など）
