回転系への座標変換のバックアップ(No.1)

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- 1 (2019-08-04 (日) 16:59:27)

>>「力学」の平原

回転系への座標変換

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クエスト概要

　回転系への座標変換によって運動方程式がどのように変わって見えるかを考えてみます。
　遠心力やコリオリの力が自然に導かれてきます。
　しばしば誤解されている遠心力について正しい理解をしましょう。

　ここでは回転系と呼んでいますが、時々刻々と加速方向が変わるだけであり、これもまた加速系の一種です。

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クエスト発生条件

非慣性系への座標変換をクリア後に選択可能になります。

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攻略法

　3 次元の慣性系 $(x,y,z)$ と、それに対して一定の角速度 $\omega$ で回転している回転系 $(x',y',z')$ とを考え、両者の座標の関係を考えます。回転系というのが良く分からなければ、とりあえずは回転する広大な板の上に立っている人の視点だとイメージしてみて下さい。両者の原点は常に一致しており、回転系の方だけが $z$ 軸を中心に回転していることにします。また、 $t=0$ の瞬間には両者の座標は完全に一致していたと考えることにします。

　例えば時刻 $t=0$ に $(x\sub{0},0,z\sub{0})$ で一致していた回転系の点は $t$ 秒後には $( x\sub{0}\,\cos(\omega t),\ x\sub{0}\,\sin(\omega t),\ z\sub{0} )$ へと移動していますし、時刻 $t=0$ に $(0,y\sub{0},z\sub{0})$ で一致していた回転系の点は $t$ 秒後には $( -y\sub{0}\,\sin(\omega t),\ y\sub{0}\,\cos(\omega t),\ z\sub{0} )$ へと移動していますから、これらをヒントにして考えると次のような関係になっていることが分かります。

$\begin{align*} x \ &=\ x'\,\cos(\omega t) \ -\ y'\,\sin(\omega t) \\ y \ &=\ x'\,\sin(\omega t) \ +\ y'\,\cos(\omega t) \tag{1} \\ z \ &=\ z' \end{align*}$

　これらの式については上の説明だけに頼らず、自力でじっくり検討してみてください。

　さて、(1) 式を見て分かるように、今回はこれまでと違って $x$ 軸と $y$ 軸の成分が互いに入り混じることになります。一方の系で見ている力の向きも、他方から見ると違った向きに働く力として解釈されますから、力の成分についても同じように変換してやる必要が出てきます。

$\begin{align*} F_x \ &=\ F_x'\,\cos(\omega t) \ -\ F_y'\,\sin(\omega t) \\ F_y \ &=\ F_x'\,\sin(\omega t) \ +\ F_y'\,\cos(\omega t) \tag{2} \\ F_z \ &=\ F_z' \end{align*}$

　これらの式を慣性系の 3 つの座標成分のニュートンの運動方程式にそれぞれ代入することで、回転系での座標で表された運動方程式を作ってみましょう。まずは $x$ 軸成分からです。複雑になりすぎるので、とりあえず右辺だけを変形していきます。

$\begin{align*} F_x \ &=\ m \ddif{x}{t} \\[3pt] &=\ m \ddif{}{t} \left( x'\,\cos(\omega t) \ -\ y'\,\sin(\omega t) \right) \\[3pt] &=\ m \dif{}{t} \dif{}{t} \left( x'\,\cos(\omega t) \ -\ y'\,\sin(\omega t) \right) \\[3pt] &=\ m \dif{}{t} \left( \dif{x'}{t}\,\cos(\omega t) - \omega\,x'\,\sin(\omega t) \ -\ \dif{y'}{t}\,\sin(\omega t) - \omega\,y'\,\cos(\omega t) \right) \\[3pt] &=\ m \bigg( \ddif{x'}{t}\,\cos(\omega t) - \omega\,\dif{x'}{t}\,\sin(\omega t) \ -\ \omega\,\dif{x'}{t}\,\sin(\omega t) - \omega^2\,x'\,\cos(\omega t) \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ddif{y'}{t}\,\sin(\omega t) - \omega\,\dif{y'}{t}\cos(\omega t) \ -\ \omega\,\dif{y'}{t}\,\cos(\omega t) + \omega^2\,y'\,\sin(\omega t) \bigg) \\[3pt] &=\ m \bigg( \ddif{x'}{t}\,\cos(\omega t) \ -\ 2\omega\,\dif{x'}{t}\,\sin(\omega t) \ -\ \omega^2\,x'\,\cos(\omega t) \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ddif{y'}{t}\,\sin(\omega t) \ -\ 2\omega\,\dif{y'}{t}\,\cos(\omega t) \ +\ \omega^2\,y'\,\sin(\omega t) \bigg) \tag{3} \end{align*}$

　 $y$ 軸成分についても同様に計算してみます。

$\begin{align*} F_y \ &=\ m \ddif{y}{t} \\[3pt] &=\ m \ddif{}{t} \left( x'\,\sin(\omega t) \ +\ y'\,\cos(\omega t) \right) \\[3pt] &=\ m \dif{}{t} \dif{}{t} \left( x'\,\sin(\omega t) \ +\ y'\,\cos(\omega t) \right) \\[3pt] &=\ m \dif{}{t} \left( \dif{x'}{t}\,\sin(\omega t) + \omega\,x'\,\cos(\omega t) \ +\ \dif{y'}{t}\,\cos(\omega t) - \omega\,y'\,\sin(\omega t) \right) \\[3pt] &=\ m \bigg( \ddif{x'}{t}\,\sin(\omega t) + \omega\,\dif{x'}{t}\,\cos(\omega t) \ +\ \omega\,\dif{x'}{t}\,\cos(\omega t) - \omega^2\,x'\,\sin(\omega t) \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ddif{y'}{t}\,\cos(\omega t) - \omega\,\dif{y'}{t}\sin(\omega t) \ -\ \omega\,\dif{y'}{t}\,\sin(\omega t) - \omega^2\,y'\,\cos(\omega t) \bigg) \\[3pt] &=\ m \bigg( \ddif{x'}{t}\,\sin(\omega t) \ +\ 2\omega\,\dif{x'}{t}\,\cos(\omega t) \ -\ \omega^2\,x'\,\sin(\omega t) \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ddif{y'}{t}\,\cos(\omega t) \ -\ 2\omega\,\dif{y'}{t}\,\sin(\omega t) \ -\ \omega^2\,y'\,\cos(\omega t) \bigg) \tag{4} \end{align*}$

　 $z$ 軸成分については何も変化がないのが明らかなので省略します。左辺にもちゃんと手を加えると、次のような方程式になります。

$\begin{align*} F_x'\,\cos(\omega t) \ &-\ F_y'\,\sin(\omega t) \\ &=\ m \bigg( \ddif{x'}{t}\,\cos(\omega t) \ -\ 2\omega\,\dif{x'}{t}\,\sin(\omega t) \ -\ \omega^2\,x'\,\cos(\omega t) \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ddif{y'}{t}\,\sin(\omega t) \ -\ 2\omega\,\dif{y'}{t}\,\cos(\omega t) \ +\ \omega^2\,y'\,\sin(\omega t) \bigg) \tag{5} \\[10pt] F_x'\,\sin(\omega t) \ &+\ F_y'\,\cos(\omega t) \\ &=\ m \bigg( \ddif{x'}{t}\,\sin(\omega t) \ +\ 2\omega\,\dif{x'}{t}\,\cos(\omega t) \ -\ \omega^2\,x'\,\sin(\omega t) \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ddif{y'}{t}\,\cos(\omega t) \ -\ 2\omega\,\dif{y'}{t}\,\sin(\omega t) \ -\ \omega^2\,y'\,\cos(\omega t) \bigg) \tag{6} \end{align*}$

　これらが回転系での運動方程式なのですが、複雑すぎて扱いに困ります。もう少し分かりやすく整理してやりましょう。 (5) 式の両辺に $\cos(\omega t)$ を掛けて、(6) 式の両辺に $\sin(\omega t )$ を掛けて両式を足し合わせてやると、色んな項が打ち消し合ってきれいになります。

$F_x' \ =\ m \left( \ddif{x'}{t} \ -\ \omega^2\,x' \ -\ 2\omega\,\dif{y'}{t} \right) \tag{7}$

また、(5) 式の両辺に $-\sin(\omega t)$ を掛けて、(6) 式の両辺に $\cos(\omega t )$ を掛けて両式を足し合わせてやると、もう一つの式が作れます。

$F_y' \ =\ m \left( 2\omega\,\dif{x'}{t} \ +\ \ddif{y'}{t} \ -\ \omega^2\,y' \right) \tag{8}$

　まだ分かりにくいので、項の順序を入れ替えたりしてみます。時間の 1 階微分は物体の速度を表しているので、 $v_x$ や $v_y$ に書き換えておきます。

$\begin{align*} F_x' \ +\ m\,\omega^2\,x' \ +\ 2m\,\omega\,v_y \ &=\ m \ddif{x'}{t} \tag{9} \\[10pt] F_y' \ +\ m\,\omega^2\,y' \ -\ 2m\,\omega\,v_x \ &=\ m \ddif{y'}{t} \tag{10} \end{align*}$

　これで慣性系での運動方程式との比較がしやすくなりました。回転系で物体の運動を見ていると、普通の力の他に、左辺の第 2 項や第 3 項で表されるような「見かけの力」が働いているように思えるということを表しています。

　(9) (10) 式の左辺の第 2 項は原点から離れれば離れるほど、あるいは回転の角速度が大きいほど強く働く力です。ベクトルで表すと $m\,\omega^2(x',y')$ となっており、常に回転の中心から離れる方向へ向かって働いています。これを「遠心力」と呼びます。物体を回転運動させるときの「向心力」と同じ形をしているので、向心力の反作用が遠心力であるかのような誤解をされることがありますが、ここまでの議論で分かるように遠心力というのは回転系で感じられる見かけの力のことであり、反作用はありません。

　水が入ったバケツを振り回しても水がこぼれないという話をするとき、腕に感じられる力というのはバケツを回すための向心力の反作用を感じているのであり、遠心力ではありません。遠心力はバケツの中の水が感じる力のことであり、水はこの力によってバケツの底に張り付いています。（しかし、このときに腕に感じる力を日常用語として遠心力と呼ぶことを咎めるつもりはありません。）

　少し理解に苦しむのは (9) (10) 式の左辺の第 3 項で表されている力です。物体の $xy$ 面内での運動速度が大きければ大きいほど強く働くように見える力のようです。つまり、 $z$ 軸方向の速度には関係なく、回転面を真上から見降ろしたときに見えるような物体の運動速度だけが問題になります。その力の方向はベクトルで表すと $(v_y, -v_x, 0)$ となっており、 $xy$ 面内での進行方向に対して常に垂直で、物体の進行方向を右へ逸れさせるかのように働きます。（ただし、角速度 $\omega$ が負のときには左へ逸れます。）また、その力の大きさは $xy$ 面内での速度の絶対値に比例しています。物体が回転系のどこにあっても関係なく同じように働きます。この力のことを「コリオリの力」あるいは「コリオリ力（コリオリりょく）」と呼びます。フランスの科学者ガスパール＝ギュスターヴ・コリオリにちなんでいます。気象分野では「転向力」とも呼ばれます。

　コリオリの力は砲弾の進行方向を逸れさせる力や、低気圧に吹き込む風の進行方向を逸らす力、つまり台風の渦の回転方向を決める力としても有名なものです。北半球と南半球では逸れる方向が逆になりますが、南半球では南極を上と考えた時に地球の自転の角速度が負になっているからです。

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参考資料

（要編集：ヒントが載っている魔導書ページへのリンク、記載されているページ数など）

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物理攻略 Wiki