物理 攻略 Wiki
物理を盛り上げるためのファンサイトです。
ネタバレありで行きますので、ネタバレを気にする方はご注意下さい。
(ただいま編集は制限させていただいております)
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開始行:
#mathjax
>>[[「力学」の平原]]
*燃料を噴射して進むロケット
#br
**クエスト概要
今までは物体の質量を定数として扱ってきましたが、質量が...
ロケット工学ではかなり有名な「&color(red){ツィオルコフス...
ついでに微小量どうしの関係からいきなり積分するという手...
#br
**クエスト発生条件
[[運動量保存則]]をクリア後に選択可能になります。
#br
**攻略法
ツィオルコフスキーの公式とは次のような式です。
\[ v(t) \ =\ v\sub{0} \ +\ u \, \ln \frac{M\sub{0}}{M\sub...
|\( v(t) \)|\( t \) 秒後の速度|
|\( v\sub{0} \)|ロケットの初期速度|
|\( M\sub{0} \)|ロケットの初期質量(燃料込み)|
|\( u \)|燃料の噴射速度|
|\( a \)|燃料消費速度|
空気抵抗のない宇宙空間を進むロケットの速度を計算できま...
速度変化の途中経過に関心がなければ次のように簡単な形に...
\[ v - v\sub{0} \ =\ u \, \ln \frac{M\sub{0}}{M} \tag{2} \]
初めに燃料も含めて全質量 \( M\sub{0} \) だったロケット...
速度がどれだけ増えているのかを計算できます。
実は燃料の消費速度を変えてみても結果は変わらないというわ...
ロケットが燃料を使い切るまでに到達可能な最高速度を上げる...
大量の燃料を積み込むか、ロケット本体の質量を下げるか、燃...
ではこの公式を求めてみましょう。
ロケットは燃料を勢いよく後方へと放り出すことによる反動...
ロケット全体の質量はどんどん軽くなっていきます。
燃料の噴射速度というのはもちろんロケットから見たときの速...
微小時間 \( \diff t \) の間に微小質量 \( \diff m = a \d...
そのとき、全質量 \( M \) のロケットは反動で微小速度 \( \d...
これらの関係は運動量保存則によって次のように表されます。
\[
\begin{align*}
M \, \diff v \ &=\ -u \, \diff m \\
&=\ - u \, a \diff t \tag{3}
\end{align*}
\]
\( t \) 秒後の \( M \) は \( M\sub{0} - at \) にまで減...
\[ \diff v \ =\ -\frac{u\,a}{M\sub{0} - at} \diff t \tag{...
この左辺にある「速度の微小増加分」を次々と足し合わせて...
それは右辺にある量を微小時間ごとに次々と足し合わせていっ...
\[
\begin{align*}
&\int \diff v \ =\ -\int \frac{u\,a}{M\sub{0} - at} \diff...
\therefore\ &v \ =\ -u\, a \ln ( M\sub{0} - at ) \ +\ C \...
\end{align*}
\]
\( t=0 \) のときに \( v = v\sub{0} \) だという初期条件...
\[
\begin{align*}
&v\sub{0} \ =\ -u\, a \ln M\sub{0} \ +\ C \\[5pt]
\therefore \ &C \ =\ v\sub{0} \ +\ u \, a \ln M\sub{0} \t...
\end{align*}
\]
これを (5) 式に代入すれば (1) 式が得られます。
もし (4) 式から (5) 式への流れに慣れなくて違和感がある...
「微分というのは微小変化どうしの比の極限」を考えたものだ...
(4) 式を次のように変形してから両辺を積分すると考えても同...
\[ \dif{v}{t} \ =\ -\frac{u\,a}{M\sub{0} - at} \tag{7} \]
ちなみに、ここまでのような多少じれったい計算を飛ばして...
(3) 式に出てくる \( \diff m \) というのは取りも直さずロケ...
\( \diff M \) という記号で表すと
\[
\begin{align*}
M \, \diff v \ &=\ -u \, \diff M \\
\therefore\ \diff v \ &=\ -u \, \frac{1}{M} \diff M \tag{...
\end{align*}
\]
という関係が得られ、この両辺を積分することによって、
\[ v \ =\ - u\, \ln M + C \tag{9} \]
という結果を得ます。
初期の質量が \( M = M\sub{0} \) の時に速度が \( v = v\sub...
\[ C \ =\ v\sub{0} \ +\ u\, \ln M\sub{0} \tag{10} \]
となり、これを (9) 式に当てはめれば (2) 式が得られます。
時間 \( t \) を間に挟まずに質量 \( M \) そのものを変数と...
少し抽象的な思考が要求される計算方法だと言えます。
#br
**参考資料
(要編集:ヒントが載っている魔導書ページへのリンク、記載...
#br
**コメント
#comment
終了行:
#mathjax
>>[[「力学」の平原]]
*燃料を噴射して進むロケット
#br
**クエスト概要
今までは物体の質量を定数として扱ってきましたが、質量が...
ロケット工学ではかなり有名な「&color(red){ツィオルコフス...
ついでに微小量どうしの関係からいきなり積分するという手...
#br
**クエスト発生条件
[[運動量保存則]]をクリア後に選択可能になります。
#br
**攻略法
ツィオルコフスキーの公式とは次のような式です。
\[ v(t) \ =\ v\sub{0} \ +\ u \, \ln \frac{M\sub{0}}{M\sub...
|\( v(t) \)|\( t \) 秒後の速度|
|\( v\sub{0} \)|ロケットの初期速度|
|\( M\sub{0} \)|ロケットの初期質量(燃料込み)|
|\( u \)|燃料の噴射速度|
|\( a \)|燃料消費速度|
空気抵抗のない宇宙空間を進むロケットの速度を計算できま...
速度変化の途中経過に関心がなければ次のように簡単な形に...
\[ v - v\sub{0} \ =\ u \, \ln \frac{M\sub{0}}{M} \tag{2} \]
初めに燃料も含めて全質量 \( M\sub{0} \) だったロケット...
速度がどれだけ増えているのかを計算できます。
実は燃料の消費速度を変えてみても結果は変わらないというわ...
ロケットが燃料を使い切るまでに到達可能な最高速度を上げる...
大量の燃料を積み込むか、ロケット本体の質量を下げるか、燃...
ではこの公式を求めてみましょう。
ロケットは燃料を勢いよく後方へと放り出すことによる反動...
ロケット全体の質量はどんどん軽くなっていきます。
燃料の噴射速度というのはもちろんロケットから見たときの速...
微小時間 \( \diff t \) の間に微小質量 \( \diff m = a \d...
そのとき、全質量 \( M \) のロケットは反動で微小速度 \( \d...
これらの関係は運動量保存則によって次のように表されます。
\[
\begin{align*}
M \, \diff v \ &=\ -u \, \diff m \\
&=\ - u \, a \diff t \tag{3}
\end{align*}
\]
\( t \) 秒後の \( M \) は \( M\sub{0} - at \) にまで減...
\[ \diff v \ =\ -\frac{u\,a}{M\sub{0} - at} \diff t \tag{...
この左辺にある「速度の微小増加分」を次々と足し合わせて...
それは右辺にある量を微小時間ごとに次々と足し合わせていっ...
\[
\begin{align*}
&\int \diff v \ =\ -\int \frac{u\,a}{M\sub{0} - at} \diff...
\therefore\ &v \ =\ -u\, a \ln ( M\sub{0} - at ) \ +\ C \...
\end{align*}
\]
\( t=0 \) のときに \( v = v\sub{0} \) だという初期条件...
\[
\begin{align*}
&v\sub{0} \ =\ -u\, a \ln M\sub{0} \ +\ C \\[5pt]
\therefore \ &C \ =\ v\sub{0} \ +\ u \, a \ln M\sub{0} \t...
\end{align*}
\]
これを (5) 式に代入すれば (1) 式が得られます。
もし (4) 式から (5) 式への流れに慣れなくて違和感がある...
「微分というのは微小変化どうしの比の極限」を考えたものだ...
(4) 式を次のように変形してから両辺を積分すると考えても同...
\[ \dif{v}{t} \ =\ -\frac{u\,a}{M\sub{0} - at} \tag{7} \]
ちなみに、ここまでのような多少じれったい計算を飛ばして...
(3) 式に出てくる \( \diff m \) というのは取りも直さずロケ...
\( \diff M \) という記号で表すと
\[
\begin{align*}
M \, \diff v \ &=\ -u \, \diff M \\
\therefore\ \diff v \ &=\ -u \, \frac{1}{M} \diff M \tag{...
\end{align*}
\]
という関係が得られ、この両辺を積分することによって、
\[ v \ =\ - u\, \ln M + C \tag{9} \]
という結果を得ます。
初期の質量が \( M = M\sub{0} \) の時に速度が \( v = v\sub...
\[ C \ =\ v\sub{0} \ +\ u\, \ln M\sub{0} \tag{10} \]
となり、これを (9) 式に当てはめれば (2) 式が得られます。
時間 \( t \) を間に挟まずに質量 \( M \) そのものを変数と...
少し抽象的な思考が要求される計算方法だと言えます。
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**参考資料
(要編集:ヒントが載っている魔導書ページへのリンク、記載...
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