物理 攻略 Wiki
物理を盛り上げるためのファンサイトです。
ネタバレありで行きますので、ネタバレを気にする方はご注意下さい。
（ただいま編集は制限させていただいております）
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開始行:
#mathjax
>>[[「力学」の平原]]
*惑星の運動２
#br
**クエスト概要
ケプラーの第2法則が成り立つことを運動方程式から導きます。
#br
**クエスト発生条件
「[[惑星の運動]]」をクリア後に選択可能になります。
#br
**攻略法
ケプラーの第2法則は「面積速度一定の法則」とも呼ばれてい...
惑星の軌道は太陽を焦点とする楕円であり、太陽から惑星に引...
#ref(惑星の運動２/area_speed1.png,center)
一定時間内にこのようにして塗りつぶされる面積が常に一定...
つまり、太陽から離れると惑星の移動速度は遅くなります。
これを数式で表現してみましょう。
太陽の位置を原点にした極座標を採用します。
惑星は微小時間 \( \Delta t \) 内に微小角度 \( \Delta \t...
このとき、次の図のような部分が塗りつぶされます。
#ref(惑星の運動２/area_speed2.png,center)
この図では大きく描いてあるのであちこちに曲線があります...
すると塗りつぶされた領域は「底辺が \( r+ \Delta r \) で高...
\[
\begin{align*}
\Delta S \ &\kinji\ \frac{1}{2}(r+\Delta r) \, r \, \Delt...
&=\ \frac{1}{2} \, r^2 \, \Delta \theta \ +\ \frac{1}{2} ...
\end{align*}
\]
この第 1 項が図で濃く塗りつぶされた部分の面積で、第 2 ...
第 2 項には \( \Delta r \) と \( \Delta \theta \) の積が...
図では大きく描いてあるのでどうにも無視できない面積に見え...
無限小時間 \( \diff t \) に無限小角度 \( \diff \theta \...
\[ \diff S \ =\ \frac{1}{2} \, r^2 \diff \theta \tag{2} \]
無限小時間 \( \diff t \) 内にこれだけ塗りつぶされたので...
\[
\begin{align*}
D \ &=\ \dif{S}{t} \ =\ \frac{1}{2} \, r^2 \, \dif{\theta...
&=\ \frac{1}{2} \, r^2 \, \dot{\theta} \tag{3}
\end{align*}
\]
さて、この \( D \) が一定であることは実は「[[惑星の運動...
運動方程式を極座標に書き直して出てきた式のうちの一つを変...
\[ \dif{}{t}(r^2 \dot{\theta}) \ =\ 0 \tag{4} \]
「時間微分したものが 0 になるのだからカッコ内は時間によ...
こうして、ケプラーの第 2 法則も運動方程式から導かれること...
#br
**参考資料
（要編集：ヒントが載っている魔導書ページへのリンク、記載...
#br
**コメント
#comment
終了行:
#mathjax
>>[[「力学」の平原]]
*惑星の運動２
#br
**クエスト概要
ケプラーの第2法則が成り立つことを運動方程式から導きます。
#br
**クエスト発生条件
「[[惑星の運動]]」をクリア後に選択可能になります。
#br
**攻略法
ケプラーの第2法則は「面積速度一定の法則」とも呼ばれてい...
惑星の軌道は太陽を焦点とする楕円であり、太陽から惑星に引...
#ref(惑星の運動２/area_speed1.png,center)
一定時間内にこのようにして塗りつぶされる面積が常に一定...
つまり、太陽から離れると惑星の移動速度は遅くなります。
これを数式で表現してみましょう。
太陽の位置を原点にした極座標を採用します。
惑星は微小時間 \( \Delta t \) 内に微小角度 \( \Delta \t...
このとき、次の図のような部分が塗りつぶされます。
#ref(惑星の運動２/area_speed2.png,center)
この図では大きく描いてあるのであちこちに曲線があります...
すると塗りつぶされた領域は「底辺が \( r+ \Delta r \) で高...
\[
\begin{align*}
\Delta S \ &\kinji\ \frac{1}{2}(r+\Delta r) \, r \, \Delt...
&=\ \frac{1}{2} \, r^2 \, \Delta \theta \ +\ \frac{1}{2} ...
\end{align*}
\]
この第 1 項が図で濃く塗りつぶされた部分の面積で、第 2 ...
第 2 項には \( \Delta r \) と \( \Delta \theta \) の積が...
図では大きく描いてあるのでどうにも無視できない面積に見え...
無限小時間 \( \diff t \) に無限小角度 \( \diff \theta \...
\[ \diff S \ =\ \frac{1}{2} \, r^2 \diff \theta \tag{2} \]
無限小時間 \( \diff t \) 内にこれだけ塗りつぶされたので...
\[
\begin{align*}
D \ &=\ \dif{S}{t} \ =\ \frac{1}{2} \, r^2 \, \dif{\theta...
&=\ \frac{1}{2} \, r^2 \, \dot{\theta} \tag{3}
\end{align*}
\]
さて、この \( D \) が一定であることは実は「[[惑星の運動...
運動方程式を極座標に書き直して出てきた式のうちの一つを変...
\[ \dif{}{t}(r^2 \dot{\theta}) \ =\ 0 \tag{4} \]
「時間微分したものが 0 になるのだからカッコ内は時間によ...
こうして、ケプラーの第 2 法則も運動方程式から導かれること...
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**参考資料
（要編集：ヒントが載っている魔導書ページへのリンク、記載...
#br
**コメント
#comment
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