物理 攻略 Wiki
物理を盛り上げるためのファンサイトです。
ネタバレありで行きますので、ネタバレを気にする方はご注意下さい。
（ただいま編集は制限させていただいております）
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開始行:
#mathjax
>>[[「力学」の平原]]
*惑星の運動
#br
**クエスト概要
万有引力というシンプルな法則に従って運動する物体の軌道が...
様々な方法でクリアできるクエストですが、どの方法も知って...
#br
ルートは主に2つあります。
「デカルト座標」ルートは、クエスト発生条件さえ満たせば取...
一方、「極座標」ルートは、クエスト発生条件に加えて名前の...
また、（クリアに必須ではありませんが）クエスト「換算質量...
#br
**クエスト発生条件
「[[ケプラーの法則]]」と「[[ばねと単振動]]」をクリア後に...
クリアするためにはスキル「合成関数の微分」が必要です。~
スキル「二次曲線」を先に習得しているとよりスムーズにスト...
#br
**攻略法
\( xy \) 平面の原点に太陽が固定されていると考えた場合に...
太陽の質量を \( M \)、惑星の質量を \( m \) とすると、
原点からの距離が \( r \) のときに惑星に働く力の大きさは次...
\[ |f(r)| \ =\ G \frac{M \, m}{r^2} \tag{1} \]
これを \( x \) 方向に働く力と \( y \) 方向に働く力とに...
\[
\begin{align*}
f_x \ &=\ - |f(r)| \, \cos \theta \tag{2} \\
f_y \ &=\ - |f(r)| \, \sin \theta \tag{3}
\end{align*}
\]
\( \theta \) というのは惑星の位置を極座標で表したときの...
#ref(惑星の運動/planet_orbit.png,center)
これらを使えば解くべき方程式は次のようになることが分か...
\[
\begin{align*}
m \, \ddif{x}{t} \ &=\ - |f(r)| \, \cos \theta \tag{4}\\
m \, \ddif{y}{t} \ &=\ - |f(r)| \, \sin \theta \tag{5}
\end{align*}
\]
デカルト座標の \( (x,y) \) と 極座標の \( (r,\theta) \)...
どちらかに統一しないといけませんが、デカルト座標に合わせ...
(4) 式と (5) 式の左辺にある \( x \) や \( y \) に
\[
\begin{align*}
x \ &=\ r \, \cos \theta \tag{6}\\
y \ &=\ r \, \sin \theta \tag{7}
\end{align*}
\]
を代入すれば良いだけです。
\( r \) も \( \theta \) も時間 \( t \) の関数だと考えて微...
いきなり結果を出すことは無理なので、根気よく 1 階微分から...
微分の記号ばかりが増えて見苦しくなることが予想されるので...
上にドットを付けて表すことにします。
\[
\begin{align*}
\dif{x}{t} \ &=\ \dif{(r\,\cos\theta)}{t} \ =\ \dot{r}\,\...
\dif{y}{t} \ &=\ \dif{(r\,\sin\theta)}{t} \ =\ \dot{r}\,\...
\end{align*}
\]
これらをもう一度微分します。
\[
\begin{align*}
\ddif{x}{t} \ &=\ \ddot{r}\,\cos\theta \ -\ \dot{r}\,\sin...
&\ \ \ \ \ -\ ( \dot{r} \,\sin\theta \cdot \dot{\theta} \...
&=\ \ddot{r}\,\cos\theta \ -\ 2 \, \dot{r}\,\dot{\theta}\...
\ddif{y}{t} \ &=\ \ddot{r}\,\sin\theta \ +\ \dot{r}\,\cos...
&\ \ \ \ \ +\ \dot{r}\,\cos\theta \cdot \dot{\theta} \ -\...
&=\ \ddot{r}\,\sin\theta \ +\ 2\,\dot{r}\,\dot{\theta}\,\...
\end{align*}
\]
これらを (4) (5) 式に代入してやると、結局解くべき方程式...
\[
\begin{align*}
m\,(\ddot{r}\,\cos\theta \ -\ 2\,\dot{r}\,\dot{\theta}\,\...
m\,(\ddot{r}\,\sin\theta \ +\ 2\,\dot{r}\,\dot{\theta}\,\...
\end{align*}
\]
しかしこれでは複雑すぎます。
もっと簡単にならないでしょうか。
(12) 式に \( \cos\theta \) を掛けて、(13) 式に \( \sin\th...
また、(12) 式に \( \sin\theta \) を掛けて、(13) 式に \( \...
やってみましょう。
\[
\begin{align*}
m\,(\ddot{r} \ -\ r\,\dot{\theta}^2 ) \ &=\ - |f(r)| \tag...
m\,(2\,\dot{r}\,\dot{\theta} \ +\ r\,\ddot{\theta}) \ &=\...
\end{align*}
\]
信じられないほどすっきりしました。
大成功です。
なんとかして解いていきましょう。
(15) 式の \( m \) は外してしまっても構いません。
そして両辺に \( r \) を掛けてやると
\[ 2\,r\,\dot{r}\,\dot{\theta} + r^2 \ddot{\theta} \ =\ 0...
となり、さらに次のように書き換えることが可能になります。
\[ \dif{}{t}(r^2 \dot{\theta}) \ =\ 0 \tag{17} \]
時間微分したものが 0 になるということは、このカッコ内は...
その定数を \( h \) と書くことにして、次のように表しましょ...
\[ r^2 \dot{\theta} \ =\ h \tag{18} \]
これを変形して
\[ \dot{\theta} \ =\ \frac{h}{r^2} \tag{19} \]
としたものを (14) 式に代入すれば \( r \) だけの方程式を作...
(1) 式の \( |f(r)| \) も代入すれば \( m \) も消えて次のよ...
\[ \ddot{r} \ -\ \frac{h^2}{r^3} \ =\ - \frac{GM}{r^2} \t...
これを無理やりにでも解くことができれば、その解 \( r(t) ...
両者を組み合わせて \( t \) を消去すれば軌道の形の方程式が...
しかしその方法は言うほど簡単ではなく、代わりに次のような...
それは \( r \) を時間の関数 \( r(t) \) として得るのではな...
例えば、\( r \) を \( t \) で 1 階微分したものは次のよう...
\[ \dif{r}{t} \ =\ \dif{r}{\theta}\,\dif{\theta}{t} \ =\ ...
さらにここで、\( r(\theta) \) の逆数であるような関数 \(...
\[ u( \theta ) \ \equiv \ \frac{1}{r(\theta)} \tag{22} \]
これを使って (21) 式の \( r \) を書き換えて計算を続ける...
\[
\begin{align*}
\dif{r}{t} \ &=\ \frac{h}{r^2} \dif{r}{\theta} \ =\ \frac...
&=\ -h \dif{u}{\theta} \tag{23}
\end{align*}
\]
この結果をさらに時間で微分したいのですが、\( \diff u/\d...
つまり、まず全体を \( \theta \) で微分してやって、さらに ...
\[
\begin{align*}
\ddif{r}{t} \ &=\ \dif{}{t} \left(-h \dif{u}{\theta} \rig...
&=\ -\frac{h^2}{r^2} \ddif{u}{\theta} \ =\ -h^2\, u^2 \, ...
\end{align*}
\]
これを (20) 式に代入して、\( r \) を \( 1/u \) に置き換...
\[ \ddif{u}{\theta} \ +\ u \ =\ \frac{GM}{h^2} \tag{25} \]
この方程式は非同次線形微分方程式と呼ばれるもので、詳し...
解き方としてはまず \( u \) を含まない項（非同次項）である...
それは「[[ばねと単振動]]」のところで出てきた式と同じ形を...
\[ u = A \cos (\theta + \delta) \tag{26} \]
残念ながらこれはまだ (25) 式の解にはなっていません。
次に、どんな形でもいいので (25) 式を満たす解を一つ探して...
例えば次のようなものが一番簡単でしょう。
\[ u = \frac{GM}{h^2} \tag{27} \]
これは定数ですがちゃんと解になっています。
そして、この (26) 式と (27) 式を足し合わせたものが (25) ...
\[ u \ =\ A \cos (\theta + \delta) \ +\ \frac{GM}{h^2} \t...
結局、軌道の形は極座標で次のように表されます。
\[ r \ =\ \frac{1}{A \cos (\theta + \delta) \ +\ \frac{GM...
この式の右辺の分子、分母を \( GM/h^2 \) で割ってやると、
\[ r \ =\ \frac{l}{1+\varepsilon\,\cos(\theta+\delta)} \t...
という形になりますが、これは「&color(red){二次曲線};」あ...
円錐を斜めに切ったときの断面の形を表しているからです。
切るときの角度によって、円、楕円、放物線、双曲線が現れま...
\( \varepsilon \) は楕円の場合の離心率を表しており、そ...
| \( \varepsilon=0 \) |円|
| \( \varepsilon<1 \) |楕円|
| \( \varepsilon=1 \) |放物線|
| \( 1<\varepsilon \) |双曲線|
惑星は太陽の周りで楕円軌道を描いていますが、その軌道は...
今回の結果には惑星の質量 \( m \) は残っていません。
惑星に限らず、太陽の周辺に近付く物体は条件次第でこれらの...
太陽系に勢い良く入ってきた天体は太陽の位置を焦点とする...
放物線というのは地表付近で物を投げたときの話にも出てきま...
太陽の引力に捉えられ楕円軌道を描くようになるか、それとも...
そのぎりぎり境い目の条件のときにだけ、太陽の位置を焦点と...
どの条件の時にどのような軌道を取るかについてはエネルギ...
#br
**参考資料
（要編集：ヒントが載っている魔導書ページへのリンク、記載...
#br
**コメント
#comment
終了行:
#mathjax
>>[[「力学」の平原]]
*惑星の運動
#br
**クエスト概要
万有引力というシンプルな法則に従って運動する物体の軌道が...
様々な方法でクリアできるクエストですが、どの方法も知って...
#br
ルートは主に2つあります。
「デカルト座標」ルートは、クエスト発生条件さえ満たせば取...
一方、「極座標」ルートは、クエスト発生条件に加えて名前の...
また、（クリアに必須ではありませんが）クエスト「換算質量...
#br
**クエスト発生条件
「[[ケプラーの法則]]」と「[[ばねと単振動]]」をクリア後に...
クリアするためにはスキル「合成関数の微分」が必要です。~
スキル「二次曲線」を先に習得しているとよりスムーズにスト...
#br
**攻略法
\( xy \) 平面の原点に太陽が固定されていると考えた場合に...
太陽の質量を \( M \)、惑星の質量を \( m \) とすると、
原点からの距離が \( r \) のときに惑星に働く力の大きさは次...
\[ |f(r)| \ =\ G \frac{M \, m}{r^2} \tag{1} \]
これを \( x \) 方向に働く力と \( y \) 方向に働く力とに...
\[
\begin{align*}
f_x \ &=\ - |f(r)| \, \cos \theta \tag{2} \\
f_y \ &=\ - |f(r)| \, \sin \theta \tag{3}
\end{align*}
\]
\( \theta \) というのは惑星の位置を極座標で表したときの...
#ref(惑星の運動/planet_orbit.png,center)
これらを使えば解くべき方程式は次のようになることが分か...
\[
\begin{align*}
m \, \ddif{x}{t} \ &=\ - |f(r)| \, \cos \theta \tag{4}\\
m \, \ddif{y}{t} \ &=\ - |f(r)| \, \sin \theta \tag{5}
\end{align*}
\]
デカルト座標の \( (x,y) \) と 極座標の \( (r,\theta) \)...
どちらかに統一しないといけませんが、デカルト座標に合わせ...
(4) 式と (5) 式の左辺にある \( x \) や \( y \) に
\[
\begin{align*}
x \ &=\ r \, \cos \theta \tag{6}\\
y \ &=\ r \, \sin \theta \tag{7}
\end{align*}
\]
を代入すれば良いだけです。
\( r \) も \( \theta \) も時間 \( t \) の関数だと考えて微...
いきなり結果を出すことは無理なので、根気よく 1 階微分から...
微分の記号ばかりが増えて見苦しくなることが予想されるので...
上にドットを付けて表すことにします。
\[
\begin{align*}
\dif{x}{t} \ &=\ \dif{(r\,\cos\theta)}{t} \ =\ \dot{r}\,\...
\dif{y}{t} \ &=\ \dif{(r\,\sin\theta)}{t} \ =\ \dot{r}\,\...
\end{align*}
\]
これらをもう一度微分します。
\[
\begin{align*}
\ddif{x}{t} \ &=\ \ddot{r}\,\cos\theta \ -\ \dot{r}\,\sin...
&\ \ \ \ \ -\ ( \dot{r} \,\sin\theta \cdot \dot{\theta} \...
&=\ \ddot{r}\,\cos\theta \ -\ 2 \, \dot{r}\,\dot{\theta}\...
\ddif{y}{t} \ &=\ \ddot{r}\,\sin\theta \ +\ \dot{r}\,\cos...
&\ \ \ \ \ +\ \dot{r}\,\cos\theta \cdot \dot{\theta} \ -\...
&=\ \ddot{r}\,\sin\theta \ +\ 2\,\dot{r}\,\dot{\theta}\,\...
\end{align*}
\]
これらを (4) (5) 式に代入してやると、結局解くべき方程式...
\[
\begin{align*}
m\,(\ddot{r}\,\cos\theta \ -\ 2\,\dot{r}\,\dot{\theta}\,\...
m\,(\ddot{r}\,\sin\theta \ +\ 2\,\dot{r}\,\dot{\theta}\,\...
\end{align*}
\]
しかしこれでは複雑すぎます。
もっと簡単にならないでしょうか。
(12) 式に \( \cos\theta \) を掛けて、(13) 式に \( \sin\th...
また、(12) 式に \( \sin\theta \) を掛けて、(13) 式に \( \...
やってみましょう。
\[
\begin{align*}
m\,(\ddot{r} \ -\ r\,\dot{\theta}^2 ) \ &=\ - |f(r)| \tag...
m\,(2\,\dot{r}\,\dot{\theta} \ +\ r\,\ddot{\theta}) \ &=\...
\end{align*}
\]
信じられないほどすっきりしました。
大成功です。
なんとかして解いていきましょう。
(15) 式の \( m \) は外してしまっても構いません。
そして両辺に \( r \) を掛けてやると
\[ 2\,r\,\dot{r}\,\dot{\theta} + r^2 \ddot{\theta} \ =\ 0...
となり、さらに次のように書き換えることが可能になります。
\[ \dif{}{t}(r^2 \dot{\theta}) \ =\ 0 \tag{17} \]
時間微分したものが 0 になるということは、このカッコ内は...
その定数を \( h \) と書くことにして、次のように表しましょ...
\[ r^2 \dot{\theta} \ =\ h \tag{18} \]
これを変形して
\[ \dot{\theta} \ =\ \frac{h}{r^2} \tag{19} \]
としたものを (14) 式に代入すれば \( r \) だけの方程式を作...
(1) 式の \( |f(r)| \) も代入すれば \( m \) も消えて次のよ...
\[ \ddot{r} \ -\ \frac{h^2}{r^3} \ =\ - \frac{GM}{r^2} \t...
これを無理やりにでも解くことができれば、その解 \( r(t) ...
両者を組み合わせて \( t \) を消去すれば軌道の形の方程式が...
しかしその方法は言うほど簡単ではなく、代わりに次のような...
それは \( r \) を時間の関数 \( r(t) \) として得るのではな...
例えば、\( r \) を \( t \) で 1 階微分したものは次のよう...
\[ \dif{r}{t} \ =\ \dif{r}{\theta}\,\dif{\theta}{t} \ =\ ...
さらにここで、\( r(\theta) \) の逆数であるような関数 \(...
\[ u( \theta ) \ \equiv \ \frac{1}{r(\theta)} \tag{22} \]
これを使って (21) 式の \( r \) を書き換えて計算を続ける...
\[
\begin{align*}
\dif{r}{t} \ &=\ \frac{h}{r^2} \dif{r}{\theta} \ =\ \frac...
&=\ -h \dif{u}{\theta} \tag{23}
\end{align*}
\]
この結果をさらに時間で微分したいのですが、\( \diff u/\d...
つまり、まず全体を \( \theta \) で微分してやって、さらに ...
\[
\begin{align*}
\ddif{r}{t} \ &=\ \dif{}{t} \left(-h \dif{u}{\theta} \rig...
&=\ -\frac{h^2}{r^2} \ddif{u}{\theta} \ =\ -h^2\, u^2 \, ...
\end{align*}
\]
これを (20) 式に代入して、\( r \) を \( 1/u \) に置き換...
\[ \ddif{u}{\theta} \ +\ u \ =\ \frac{GM}{h^2} \tag{25} \]
この方程式は非同次線形微分方程式と呼ばれるもので、詳し...
解き方としてはまず \( u \) を含まない項（非同次項）である...
それは「[[ばねと単振動]]」のところで出てきた式と同じ形を...
\[ u = A \cos (\theta + \delta) \tag{26} \]
残念ながらこれはまだ (25) 式の解にはなっていません。
次に、どんな形でもいいので (25) 式を満たす解を一つ探して...
例えば次のようなものが一番簡単でしょう。
\[ u = \frac{GM}{h^2} \tag{27} \]
これは定数ですがちゃんと解になっています。
そして、この (26) 式と (27) 式を足し合わせたものが (25) ...
\[ u \ =\ A \cos (\theta + \delta) \ +\ \frac{GM}{h^2} \t...
結局、軌道の形は極座標で次のように表されます。
\[ r \ =\ \frac{1}{A \cos (\theta + \delta) \ +\ \frac{GM...
この式の右辺の分子、分母を \( GM/h^2 \) で割ってやると、
\[ r \ =\ \frac{l}{1+\varepsilon\,\cos(\theta+\delta)} \t...
という形になりますが、これは「&color(red){二次曲線};」あ...
円錐を斜めに切ったときの断面の形を表しているからです。
切るときの角度によって、円、楕円、放物線、双曲線が現れま...
\( \varepsilon \) は楕円の場合の離心率を表しており、そ...
| \( \varepsilon=0 \) |円|
| \( \varepsilon<1 \) |楕円|
| \( \varepsilon=1 \) |放物線|
| \( 1<\varepsilon \) |双曲線|
惑星は太陽の周りで楕円軌道を描いていますが、その軌道は...
今回の結果には惑星の質量 \( m \) は残っていません。
惑星に限らず、太陽の周辺に近付く物体は条件次第でこれらの...
太陽系に勢い良く入ってきた天体は太陽の位置を焦点とする...
放物線というのは地表付近で物を投げたときの話にも出てきま...
太陽の引力に捉えられ楕円軌道を描くようになるか、それとも...
そのぎりぎり境い目の条件のときにだけ、太陽の位置を焦点と...
どの条件の時にどのような軌道を取るかについてはエネルギ...
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（要編集：ヒントが載っている魔導書ページへのリンク、記載...
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