物理 攻略 Wiki
物理を盛り上げるためのファンサイトです。
ネタバレありで行きますので、ネタバレを気にする方はご注意下さい。
（ただいま編集は制限させていただいております）
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開始行:
#mathjax
>>[[「力学」の平原]]
*回転系への座標変換
#br
**クエスト概要
回転系への座標変換によって運動方程式がどのように変わっ...
遠心力やコリオリの力が自然に導かれてきます。~
しばしば誤解されている遠心力について正しい理解をしまし...
ここでは回転系と呼んでいますが、時々刻々と加速方向が変...
計算はそれほど難しくありませんが、結果について考えてい...
#br
**クエスト発生条件
[[非慣性系への座標変換]]をクリア後に選択可能になります。
#br
**攻略法
3 次元の慣性系 \( (x,y,z) \) と、それに対して一定の角速...
回転系というのが良く分からなければ、とりあえずは回転する...
両者の原点は常に一致しており、回転系の方だけが \( z \) 軸...
また、\( t=0 \) の瞬間には両者の座標は完全に一致していた...
例えば時刻 \( t=0 \) に \( (x\sub{0},0,z\sub{0}) \) で...
\[
\begin{align*}
x \ &=\ x'\,\cos(\omega t) \ -\ y'\,\sin(\omega t) \\
y \ &=\ x'\,\sin(\omega t) \ +\ y'\,\cos(\omega t) \tag{1...
z \ &=\ z'
\end{align*}
\]
これらの式については上の説明だけに頼らず、自力でじっく...
さて、(1) 式を見て分かるように、今回はこれまでと違って ...
一方の系で見ている力の向きも、他方から見ると違った向きに...
\[
\begin{align*}
F_x \ &=\ F_x'\,\cos(\omega t) \ -\ F_y'\,\sin(\omega t) \\
F_y \ &=\ F_x'\,\sin(\omega t) \ +\ F_y'\,\cos(\omega t) ...
F_z \ &=\ F_z'
\end{align*}
\]
これらの式を慣性系の 3 つの座標成分のニュートンの運動方...
まずは \( x \) 軸成分からです。
複雑になりすぎるので、とりあえず右辺だけを変形していきま...
\[
\begin{align*}
F_x \ &=\ m \ddif{x}{t} \\[3pt]
&=\ m \ddif{}{t} \left( x'\,\cos(\omega t) \ -\ y'\,\sin(...
&=\ m \dif{}{t} \dif{}{t} \left( x'\,\cos(\omega t) \ -\ ...
&=\ m \dif{}{t} \left( \dif{x'}{t}\,\cos(\omega t) - \ome...
&=\ m \bigg( \ddif{x'}{t}\,\cos(\omega t) - \omega\,\dif{...
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ddif{y'}{t}\,\sin(\omega t) - \o...
&=\ m \bigg( \ddif{x'}{t}\,\cos(\omega t) \ -\ 2\omega\,\...
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ddif{y'}{t}\,\sin(\omega t) \ -\...
\end{align*}
\]
\( y \) 軸成分についても同様に計算してみます。
\[
\begin{align*}
F_y \ &=\ m \ddif{y}{t} \\[3pt]
&=\ m \ddif{}{t} \left( x'\,\sin(\omega t) \ +\ y'\,\cos(...
&=\ m \dif{}{t} \dif{}{t} \left( x'\,\sin(\omega t) \ +\ ...
&=\ m \dif{}{t} \left( \dif{x'}{t}\,\sin(\omega t) + \ome...
&=\ m \bigg( \ddif{x'}{t}\,\sin(\omega t) + \omega\,\dif{...
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ddif{y'}{t}\,\cos(\omega t) - \o...
&=\ m \bigg( \ddif{x'}{t}\,\sin(\omega t) \ +\ 2\omega\,\...
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ddif{y'}{t}\,\cos(\omega t) \ -\...
\end{align*}
\]
\( z \) 軸成分については何も変化がないのが明らかなので...
左辺にもちゃんと手を加えると、次のような方程式になります。
\[
\begin{align*}
F_x'\,\cos(\omega t) \ &-\ F_y'\,\sin(\omega t) \\
&=\ m \bigg( \ddif{x'}{t}\,\cos(\omega t) \ -\ 2\omega\,\...
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ddif{y'}{t}\,\sin(\omega t) \ -\...
F_x'\,\sin(\omega t) \ &+\ F_y'\,\cos(\omega t) \\
&=\ m \bigg( \ddif{x'}{t}\,\sin(\omega t) \ +\ 2\omega\,\...
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ddif{y'}{t}\,\cos(\omega t) \ -\...
\end{align*}
\]
これらが回転系での運動方程式なのですが、複雑すぎて扱い...
もう少し分かりやすく整理してやりましょう。
(5) 式の両辺に \( \cos(\omega t) \) を掛けて、(6) 式の両...
\[ F_x' \ =\ m \left( \ddif{x'}{t} \ -\ \omega^2\,x' \ -\...
また、(5) 式の両辺に \( -\sin(\omega t) \) を掛けて、(6) ...
\[ F_y' \ =\ m \left( 2\omega\,\dif{x'}{t} \ +\ \ddif{y'}...
まだ分かりにくいので、項の順序を入れ替えたりしてみます。
時間の 1 階微分は物体の速度を表しているので、\( v_x \) や...
\[
\begin{align*}
F_x' \ +\ m\,\omega^2\,x' \ +\ 2m\,\omega\,v_y \ &=\ m \d...
F_y' \ +\ m\,\omega^2\,y' \ -\ 2m\,\omega\,v_x \ &=\ m \d...
\end{align*}
\]
これで慣性系での運動方程式との比較がしやすくなりました。
回転系に立って物体の運動を見ていると、通常の力の他に、左...
(9) (10) 式の左辺の第 2 項は原点から離れれば離れるほど...
ベクトルで表すと \( m\,\omega^2(x',y') \) となっており、...
これを「&color(red){遠心力};」と呼びます。
物体を回転運動させるときの「向心力」と同じ形をしているの...
水が入ったバケツを振り回しても水がこぼれないという話を...
遠心力はバケツの中の水が感じる力のことであり、水はこの力...
（しかし、このときに腕に感じる力を日常用語として遠心力と...
少し理解に苦しむのは (9) (10) 式の左辺の第 3 項で表され...
物体の \( xy \) 面内での運動速度が大きければ大きいほど強...
つまり、\( z \) 軸方向の速度には関係なく、回転面を真上か...
その力の方向はベクトルで表すと \( (v_y, -v_x, 0) \) とな...
（ただし、角速度 \( \omega \) が負のときには左へ逸れます...
また、その力の大きさは \( xy \) 面内での速度の絶対値に比...
物体が回転系のどこにあっても関係なく同じように働きます。
この力のことを「&color(red){コリオリの力};」あるいは「&co...
フランスの科学者[[ガスパール＝ギュスターヴ・コリオリ:http...
気象分野では「&color(red){転向力};」とも呼ばれます。
コリオリの力は砲弾の進行方向を逸れさせる力や、低気圧に...
北半球と南半球では逸れる方向が逆になりますが、南半球では...
#br
**参考資料
（要編集：ヒントが載っている魔導書ページへのリンク、記載...
#br
**コメント
#comment
終了行:
#mathjax
>>[[「力学」の平原]]
*回転系への座標変換
#br
**クエスト概要
回転系への座標変換によって運動方程式がどのように変わっ...
遠心力やコリオリの力が自然に導かれてきます。~
しばしば誤解されている遠心力について正しい理解をしまし...
ここでは回転系と呼んでいますが、時々刻々と加速方向が変...
計算はそれほど難しくありませんが、結果について考えてい...
#br
**クエスト発生条件
[[非慣性系への座標変換]]をクリア後に選択可能になります。
#br
**攻略法
3 次元の慣性系 \( (x,y,z) \) と、それに対して一定の角速...
回転系というのが良く分からなければ、とりあえずは回転する...
両者の原点は常に一致しており、回転系の方だけが \( z \) 軸...
また、\( t=0 \) の瞬間には両者の座標は完全に一致していた...
例えば時刻 \( t=0 \) に \( (x\sub{0},0,z\sub{0}) \) で...
\[
\begin{align*}
x \ &=\ x'\,\cos(\omega t) \ -\ y'\,\sin(\omega t) \\
y \ &=\ x'\,\sin(\omega t) \ +\ y'\,\cos(\omega t) \tag{1...
z \ &=\ z'
\end{align*}
\]
これらの式については上の説明だけに頼らず、自力でじっく...
さて、(1) 式を見て分かるように、今回はこれまでと違って ...
一方の系で見ている力の向きも、他方から見ると違った向きに...
\[
\begin{align*}
F_x \ &=\ F_x'\,\cos(\omega t) \ -\ F_y'\,\sin(\omega t) \\
F_y \ &=\ F_x'\,\sin(\omega t) \ +\ F_y'\,\cos(\omega t) ...
F_z \ &=\ F_z'
\end{align*}
\]
これらの式を慣性系の 3 つの座標成分のニュートンの運動方...
まずは \( x \) 軸成分からです。
複雑になりすぎるので、とりあえず右辺だけを変形していきま...
\[
\begin{align*}
F_x \ &=\ m \ddif{x}{t} \\[3pt]
&=\ m \ddif{}{t} \left( x'\,\cos(\omega t) \ -\ y'\,\sin(...
&=\ m \dif{}{t} \dif{}{t} \left( x'\,\cos(\omega t) \ -\ ...
&=\ m \dif{}{t} \left( \dif{x'}{t}\,\cos(\omega t) - \ome...
&=\ m \bigg( \ddif{x'}{t}\,\cos(\omega t) - \omega\,\dif{...
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ddif{y'}{t}\,\sin(\omega t) - \o...
&=\ m \bigg( \ddif{x'}{t}\,\cos(\omega t) \ -\ 2\omega\,\...
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ddif{y'}{t}\,\sin(\omega t) \ -\...
\end{align*}
\]
\( y \) 軸成分についても同様に計算してみます。
\[
\begin{align*}
F_y \ &=\ m \ddif{y}{t} \\[3pt]
&=\ m \ddif{}{t} \left( x'\,\sin(\omega t) \ +\ y'\,\cos(...
&=\ m \dif{}{t} \dif{}{t} \left( x'\,\sin(\omega t) \ +\ ...
&=\ m \dif{}{t} \left( \dif{x'}{t}\,\sin(\omega t) + \ome...
&=\ m \bigg( \ddif{x'}{t}\,\sin(\omega t) + \omega\,\dif{...
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ddif{y'}{t}\,\cos(\omega t) - \o...
&=\ m \bigg( \ddif{x'}{t}\,\sin(\omega t) \ +\ 2\omega\,\...
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ddif{y'}{t}\,\cos(\omega t) \ -\...
\end{align*}
\]
\( z \) 軸成分については何も変化がないのが明らかなので...
左辺にもちゃんと手を加えると、次のような方程式になります。
\[
\begin{align*}
F_x'\,\cos(\omega t) \ &-\ F_y'\,\sin(\omega t) \\
&=\ m \bigg( \ddif{x'}{t}\,\cos(\omega t) \ -\ 2\omega\,\...
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ddif{y'}{t}\,\sin(\omega t) \ -\...
F_x'\,\sin(\omega t) \ &+\ F_y'\,\cos(\omega t) \\
&=\ m \bigg( \ddif{x'}{t}\,\sin(\omega t) \ +\ 2\omega\,\...
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ddif{y'}{t}\,\cos(\omega t) \ -\...
\end{align*}
\]
これらが回転系での運動方程式なのですが、複雑すぎて扱い...
もう少し分かりやすく整理してやりましょう。
(5) 式の両辺に \( \cos(\omega t) \) を掛けて、(6) 式の両...
\[ F_x' \ =\ m \left( \ddif{x'}{t} \ -\ \omega^2\,x' \ -\...
また、(5) 式の両辺に \( -\sin(\omega t) \) を掛けて、(6) ...
\[ F_y' \ =\ m \left( 2\omega\,\dif{x'}{t} \ +\ \ddif{y'}...
まだ分かりにくいので、項の順序を入れ替えたりしてみます。
時間の 1 階微分は物体の速度を表しているので、\( v_x \) や...
\[
\begin{align*}
F_x' \ +\ m\,\omega^2\,x' \ +\ 2m\,\omega\,v_y \ &=\ m \d...
F_y' \ +\ m\,\omega^2\,y' \ -\ 2m\,\omega\,v_x \ &=\ m \d...
\end{align*}
\]
これで慣性系での運動方程式との比較がしやすくなりました。
回転系に立って物体の運動を見ていると、通常の力の他に、左...
(9) (10) 式の左辺の第 2 項は原点から離れれば離れるほど...
ベクトルで表すと \( m\,\omega^2(x',y') \) となっており、...
これを「&color(red){遠心力};」と呼びます。
物体を回転運動させるときの「向心力」と同じ形をしているの...
水が入ったバケツを振り回しても水がこぼれないという話を...
遠心力はバケツの中の水が感じる力のことであり、水はこの力...
（しかし、このときに腕に感じる力を日常用語として遠心力と...
少し理解に苦しむのは (9) (10) 式の左辺の第 3 項で表され...
物体の \( xy \) 面内での運動速度が大きければ大きいほど強...
つまり、\( z \) 軸方向の速度には関係なく、回転面を真上か...
その力の方向はベクトルで表すと \( (v_y, -v_x, 0) \) とな...
（ただし、角速度 \( \omega \) が負のときには左へ逸れます...
また、その力の大きさは \( xy \) 面内での速度の絶対値に比...
物体が回転系のどこにあっても関係なく同じように働きます。
この力のことを「&color(red){コリオリの力};」あるいは「&co...
フランスの科学者[[ガスパール＝ギュスターヴ・コリオリ:http...
気象分野では「&color(red){転向力};」とも呼ばれます。
コリオリの力は砲弾の進行方向を逸れさせる力や、低気圧に...
北半球と南半球では逸れる方向が逆になりますが、南半球では...
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**参考資料
（要編集：ヒントが載っている魔導書ページへのリンク、記載...
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