物理 攻略 Wiki
物理を盛り上げるためのファンサイトです。
ネタバレありで行きますので、ネタバレを気にする方はご注意下さい。
(ただいま編集は制限させていただいております)
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開始行:
#mathjax
>>[[「力学」の平原]]
*位置エネルギーを求める
#br
**クエスト概要
クエスト「[[エネルギー保存則を導く]]」で手に入れた位置...
#br
**クエスト発生条件
[[エネルギー保存則を導く]]をクリア後に選択可能になります。
#br
**攻略法
位置エネルギーの定義は次のように書けるのでした。([[エ...
\[ V(x) \ =\ - \int^x_{x_s} F(x) \diff x \tag{1} \]
これを使って幾つかの具体例を計算してみましょう。
\( x_s \) というのは位置エネルギーの基準をどこに決めるか...
( 添字の \( s \) は standard の頭文字です。)
#br
***重力による位置エネルギー
まず、地表付近の物体に働く重力の位置エネルギーを求めて...
上方向を正としますと、地表付近での物体に働く力は \( F = -...
地面の高さを \( x = 0 \) と考えることにします。
これらを (1) 式に代入して計算すると、次のようになります。
\[
\begin{align*}
V(x) \ &=\ - \int^x_{x_s} (-mg) \diff x \\
&=\ \Big[ m\,g\,x \Big]^x_{x_s} \\
&=\ m\,g\,x - m\,g\,x_s \tag{2}
\end{align*}
\]
地面の高さでの位置エネルギーを 0 としたければ \( x_s = ...
その場合、地面からの高さが \( h \) の地点での位置エネルギ...
高校物理でも習った「重力による位置エネルギー」と同じにな...
#br
***弾性エネルギー
次にばねの弾性力の位置エネルギーを考えてみます。
ばねによる力は \( F = - kx \) と表せるのでした。
これを (1) 式に代入して計算すると、次のようになります。
\[
\begin{align*}
V(x) \ &=\ - \int^x_{x_s} (-kx) \diff x \\
&=\ \left[ \frac{1}{2} k\,x^2 \right]^x_{x_s} \\
&=\ \frac{1}{2} k \, x^2 - \frac{1}{2} k \, x_s^2 \tag{3}
\end{align*}
\]
物体がばねの釣り合いの位置から離れるほど位置エネルギー...
エネルギーの基準は \( x_s = 0 \) に選ぶのがもっともシンプ...
これも高校物理に「ばねの弾性力による位置エネルギー」とし...
#br
***重力ポテンシャル
最後の例として、地球表面から遠く離れた場合にも成り立つ...
地球中心からの距離で位置を表したいので、\( x \) の代わり...
\( r \) は radius の頭文字です。
地球から離れるほど \( r \) が増えるので、地球から離れる方...
引力は地球に近付く方向ですからマイナスを付けて表されます。
\[ F(r) \ =\ - G \, \frac{Mm}{r^2} \tag{4} \]
これを (1) 式に代入して計算すると次のようになります。
\[
\begin{align*}
V(r) \ &=\ - \int^r_{r_s} \left( - G \, \frac{Mm}{r^2} \r...
&=\ GMm \, \int^r_{r_s} \frac{1}{r^2} \diff r \\
&=\ GMm \, \left[ -\frac{1}{r} \ \right]^r_{r_s} \\
&=\ GMm \, \left( -\frac{1}{r} + \frac{1}{r_s} \right) \t...
\end{align*}
\]
地球表面の位置 \( r = R \) を基準にした場合には
\[ V(r) \ =\ GMm \, \left( -\frac{1}{r} + \frac{1}{R} \ri...
という形になります。
もっとシンプルにしようとして地球の中心を基準にしようとす...
逆に無限遠の地点を基準にして \( r_s = \infty \) を代入す...
\[ V(r) \ =\ - \frac{GMm}{r} \tag{7} \]
#br
**参考資料
(要編集:ヒントが載っている魔導書ページへのリンク、記載...
#br
**コメント
#comment
終了行:
#mathjax
>>[[「力学」の平原]]
*位置エネルギーを求める
#br
**クエスト概要
クエスト「[[エネルギー保存則を導く]]」で手に入れた位置...
#br
**クエスト発生条件
[[エネルギー保存則を導く]]をクリア後に選択可能になります。
#br
**攻略法
位置エネルギーの定義は次のように書けるのでした。([[エ...
\[ V(x) \ =\ - \int^x_{x_s} F(x) \diff x \tag{1} \]
これを使って幾つかの具体例を計算してみましょう。
\( x_s \) というのは位置エネルギーの基準をどこに決めるか...
( 添字の \( s \) は standard の頭文字です。)
#br
***重力による位置エネルギー
まず、地表付近の物体に働く重力の位置エネルギーを求めて...
上方向を正としますと、地表付近での物体に働く力は \( F = -...
地面の高さを \( x = 0 \) と考えることにします。
これらを (1) 式に代入して計算すると、次のようになります。
\[
\begin{align*}
V(x) \ &=\ - \int^x_{x_s} (-mg) \diff x \\
&=\ \Big[ m\,g\,x \Big]^x_{x_s} \\
&=\ m\,g\,x - m\,g\,x_s \tag{2}
\end{align*}
\]
地面の高さでの位置エネルギーを 0 としたければ \( x_s = ...
その場合、地面からの高さが \( h \) の地点での位置エネルギ...
高校物理でも習った「重力による位置エネルギー」と同じにな...
#br
***弾性エネルギー
次にばねの弾性力の位置エネルギーを考えてみます。
ばねによる力は \( F = - kx \) と表せるのでした。
これを (1) 式に代入して計算すると、次のようになります。
\[
\begin{align*}
V(x) \ &=\ - \int^x_{x_s} (-kx) \diff x \\
&=\ \left[ \frac{1}{2} k\,x^2 \right]^x_{x_s} \\
&=\ \frac{1}{2} k \, x^2 - \frac{1}{2} k \, x_s^2 \tag{3}
\end{align*}
\]
物体がばねの釣り合いの位置から離れるほど位置エネルギー...
エネルギーの基準は \( x_s = 0 \) に選ぶのがもっともシンプ...
これも高校物理に「ばねの弾性力による位置エネルギー」とし...
#br
***重力ポテンシャル
最後の例として、地球表面から遠く離れた場合にも成り立つ...
地球中心からの距離で位置を表したいので、\( x \) の代わり...
\( r \) は radius の頭文字です。
地球から離れるほど \( r \) が増えるので、地球から離れる方...
引力は地球に近付く方向ですからマイナスを付けて表されます。
\[ F(r) \ =\ - G \, \frac{Mm}{r^2} \tag{4} \]
これを (1) 式に代入して計算すると次のようになります。
\[
\begin{align*}
V(r) \ &=\ - \int^r_{r_s} \left( - G \, \frac{Mm}{r^2} \r...
&=\ GMm \, \int^r_{r_s} \frac{1}{r^2} \diff r \\
&=\ GMm \, \left[ -\frac{1}{r} \ \right]^r_{r_s} \\
&=\ GMm \, \left( -\frac{1}{r} + \frac{1}{r_s} \right) \t...
\end{align*}
\]
地球表面の位置 \( r = R \) を基準にした場合には
\[ V(r) \ =\ GMm \, \left( -\frac{1}{r} + \frac{1}{R} \ri...
という形になります。
もっとシンプルにしようとして地球の中心を基準にしようとす...
逆に無限遠の地点を基準にして \( r_s = \infty \) を代入す...
\[ V(r) \ =\ - \frac{GMm}{r} \tag{7} \]
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**参考資料
(要編集:ヒントが載っている魔導書ページへのリンク、記載...
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**コメント
#comment
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