>>「量子力学」の谷
「励起した状態はそれぞれの仕方で励起しているが、どん底で束縛された状態はどれも似たようなものだ」という有名な言葉があります。
束縛状態の第一近似はいつの世でも調和振動子なのです。 1次元系でx^2に比例するポテンシャルに対するハミルトニアンの固有関数を求めれば、束縛状態全般について大まかな理解が得られるでしょう。
バネの単振動、シュレーディンガー方程式
「微分方程式」の湿地で「エルミート多項式」を入手しておくと良いです。
解いた結果は、「調和振動子の解は離散的なエネルギーしか持たない」という少し意外なものですが、それを素直に受け止められるかこそが本当の課題です。
(要編集:ヒントが載っている魔導書ページへのリンク、記載されているページ数など)